The method of characteristics is an important part of the course; we have used it to solve linear first order partial differential equations.
Specifics of the method
To supplement what we've met in the lectures, here are some videos of worked examples. As in the lectures, they're split into three cases arguably in increasing order of complexity. Each case requires different treatment, yet the ideas of the method are similar (in fact cases 1 and 2 are just special cases of case 3).
Case 1: Constant coefficients
This is the case \(au_x+bu_y=0\), where \(a,b\in\mathbb{R}\). A summary of the method would be as follows:
Rewrite the PDE in the form \((a,b)\cdot\nabla u=0\).
Recognise that this expression is telling us that the directional derivative in the direction \((a,b)\) is zero; thus \(u\) is constant in that direction.
Solve the relevant ODE to get equations for characteristic curves - they will be straight lines in \((x,y)\)-space. Each different characteristic line is described by an arbitrary constant \(c\) (its \(y\)-intercept).
Deduce that since \(u\) is constant along characteristic lines, \(u=f(c)\), where \(f\) is a function of one variable. Then write \(c\) in terms of \(x\) and \(y\) by rearranging the equations for the characteristic curves.
Finally apply any boundary condition to determine the hitherto arbitrary function \(f\).
(These videos are probably clearer when bigger - probably best watched fullscreen so you can fully immerse yourself in my squiggly handwriting and colourful equations!)
Case 2: Variable coefficients
This is the case \(a(x,y)u_x+b(x,y)u_y=0\), where \(a\) and \(b\) are now functions of \(x\) and \(y\). A summary of the method would be as follows:
Rewrite the PDE in the form \((a(x,y),b(x,y))\cdot\nabla u=0\).
Recognise that this expression is telling us that the directional derivative in the direction \((a(x,y),b(x,y))\) is zero; thus \(u\) is constant in that direction.
Solve the relevant ODE to get equations for characteristic curves - they will be genuine curves rather that straight lines in \((x,y)\)-space in this variable coefficients case.
Each different characteristic curve is described by an arbitrary constant \(c\).
Deduce that since \(u\) is constant along characteristic curves, \(u=f(c)\), where \(f\) is a function of one variable. Then write \(c\) in terms of \(x\) and \(y\) by rearranging the equations for the characteristic curves.
Finally apply any boundary condition to determine the hitherto arbitrary function \(f\).
(These videos are probably clearer when bigger - probably best watched fullscreen so you can fully immerse yourself in my squiggly handwriting and colourful equations!)
Case 3: The general case
This is the case \(a(x,y)u_x+b(x,y)u_y+c(x,y)u=f(x,y)\), where \(a,b,c,f\) are functions of \(x\) and \(y\) and is the most technically challenging of the types of problem we will meet that use the method of characteristics. A summary of the method would be as follows:
We parameterise the characteristic curves by a parameter \(t\) (I've noticed some of you aren't too confident with paramertised curves - this seems to be a good link explaining what we mean by parameterising a curve). This involves solving the ODEs
\[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a(x,y),\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=b(x,y),\] with suitable boundary conditions. After this step, we have expressions for the curves, with \(x\) and \(y\) given as functions of \(t\) with an extra parameter \(s\), say.
Recognise that along these curves, the PDE reduces to an ODE.
Solve the ODE along characteristic curves.
Substitute back to the original coordinates.
Finally apply any boundary condition to determine any hitherto arbitrary functions.
(These videos are probably clearer when bigger - probably best watched fullscreen so you can fully immerse yourself in my squiggly handwriting and colourful equations!)
Y Dull Nodweddion
Mae'r dull nodweddion yn rhan bwysig o'r cwrs; rydym wedi defnyddio'r dull i ddatrys hafaliadau differol rhannol llinol trefn un
Manylion y dull
I ychwanegu at yr hyn rydych chi wedi gweld yn y darlithoedd, dyma rai fideos sy'n cynnwys enghreifftiau o'r cyfrifiadau. Fel yn y darlithoedd, maent wedi eu rhannu fel tri achos yn nhrefn cymhlethdod. Mae angen dull penodol gwahanol i bob achos, ond mae syniadau'r dulliau yn debyg (mewn gwirionedd mae achosion 1 a 2 yn achos arbennig o achos 3).
Achos 1: Cyfernodau cyson
Hwn yw'r achos \(au_x+bu_y=0\), lle mae \(a,b\in\mathbb{R}\). Dyma grynodeb o'r dull:
Ail-ysgrifennwch yr hafaliad differol rhannol yn y ffurf \((a,b)\cdot\nabla u=0\).
Adnabyddwch fod y mynegiad yma yn dweud bod y deilliad cyfeiriadol yn y cyfeiriad \((a,b)\) yn hafal i sero; felly mae \(u\) yn gyson yn y cyfeiriad yna.
Datryswch yr hafaliad differol cyffredin perthnasol er mwyn cael hafaliadau ar gyfer y cromliniau nodweddiadol - mi fyddant yn llinellau syth yn y gofod-\((x,y)\). Disgrifir pob llinell nodweddiadol gan gysonyn \(c\) (ei rhyngdoriad-\(y\)).
Gan fod \(u\) yn gyson ar hyd llinellau nodweddiadol, diddwythwch fod \(u=f(c)\), lle mae \(f\) yn ffwythiant sy'n ddibynnol ar un newidyn. Yna ysgrifennwch \(c\) yn nhermau \(x\) ac \(y\) trwy ad-drefnu'r hafaliadau ar gyfer y cromliniau nodweddiadol.
Yn olaf, defnyddiwch yr amodau ffin er mwyn darganfod y ffwythiant \(f\).
(Mae'r fideos yma'n gliriach pan maent yn fwy - byddai'n well eu gweld ar sgrin lawn.)
Achos 2: Cyfernodau newidiol
Hwn yw'r achos \(a(x,y)u_x+b(x,y)u_y=0\), lle mae \(a\) a \(b\) yn ffwythiannau o \(x\) ac \(y\). Dyma grynodeb o'r dull:
Ail-ysgrifennwch yr hafaliad differol rhannol yn y ffurf \((a(x,y),b(x,y))\cdot\nabla u=0\).
Adnabyddwch fod y mynegiad yma yn dweud bod y deilliad cyfeiriadol yn y cyfeiriad \((a(x,y),b(x,y))\) yn hafal i sero; felly mae \(u\) yn gyson yn y cyfeiriad yna.
Datryswch yr hafaliad differol cyffredin perthnasol er mwyn cael hafaliadau ar gyfer y cromliniau nodweddiadol - mi fyddant yn gromliniau go iawn yn hytrach na llinellau syth yn y gofod-\((x,y)\) yn yr achos cyfernodau newidiol yma.
Disgrifir pob llinell nodweddiadol gan gysonyn mympwyol \(c\).
Gan fod \(u\) yn gyson ar hyd llinellau nodweddiadol, diddwythwch fod \(u=f(c)\), lle mae \(f\) yn ffwythiant sy'n ddibynnol ar un newidyn. Yna ysgrifennwch\(c\) yn nhermau \(x\) ac \(y\) trwy ad-drefnu'r hafaliadau ar gyfer y cromliniau nodweddiadol
Yn olaf, defnyddiwch yr amodau ffin er mwyn darganfod y ffwythiant \(f\).
(Mae'r fideos yma'n gliriach pan maent yn fwy - byddai'n well eu gweld ar sgrin lawn.)
Achos 3: Yr achos cyffredinol
Hwn yw'r achos \(a(x,y)u_x+b(x,y)u_y+c(x,y)u=f(x,y)\), lle mae \(a,b,c,f\) yn ffwythiannau o \(x\) ac \(y\) a hwn yw'r math mwyaf heriol yn dechnegol o'r broblemau sy'n defnyddio'r dull nodweddion byddwn ni'n ei ystyried. Dyma grynodeb o'r dull:
Rydym yn paramedru'r cromliniau nodweddiadol gan baramedr \(t\) (rwyf wedi sylwi bod rhai ohonoch ddim yn rhy hyderus gyda chromliniau wedi'u paramedru - mae hwn yn ymddangos yn ddolen da sy'n egluro beth mae paramedru cromlin yn ei olygu). Mae hyn yn cynnwys datrys yr hafaliadau differol cyffredin
\[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a(x,y),\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=b(x,y),\] gydag amodau ffin addas. Ar ôl y cam yma, mae gennym fynegiadau ar gyfer y cromliniau, gydag \(x\) ac \(y\) wedi'u rhoi fel ffwythiannau o \(t\) gyda paramedr ychwanegol, sef \(s\).
Adnabyddwch fod yr hafaliad differol rhannol yn lleihau i hafaliad differol cyffredin ar hyd y cromliniau yma.
Datryswch yr hafaliad differol cyffredin ar hyd y cromliniau nodweddiadaol.
Amnewidiwch yn ôl i'r cyfesurynnau gwreiddiol.
Yn olaf, defnyddiwch yr amodau ffin er mwyn darganfod y ffwythiant \(f\).
(Mae'r fideos yma'n gliriach pan maent yn fwy - byddai'n well eu gweld ar sgrin lawn.)