[English]

Mae'r dudalen hwn yn cynnwys nifer o esiamplau sy'n ymdebygu data parth-amser a gasglwyd gan spectromedr trawsffurfiad-Fourier, o'r math sy'n cael ei ddefnyddio ar gyfer soniaredd niwclear magnetig (SNM) neu spectroscopi isgoch (IG). Mae signal nodweddiadol yn darfod yn esbonyddol gyda arosodiad o sawl osgiliad. Yn y trawsffurfiad Fourier o'r data, mae'r darfod yn trawsffurfio i lled y llinell, tra bod yr osgiliadau yn dangos fel safleoedd y llinell, h.y. y spectrwm. Os oes gennych gnuplot neu MathCAD neu debyg, gallwch drio hwn gartref; Mae taflen waith yma yn rhoi cyfarwyddiadau.

Darfodiad esbonyddol unigol

Mae darfod esbonyddol unigol real yn unig f(t)=e^{-kt}(+i0)
yn trawsffurfio fel F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-kt}e^{-i\omega t}dt.

Os gadewn i'r echel amser gychwyn ar sero, a, o pwynt a ymlaen, mae'r signal mwy ne lai yn sero,

yna mae'r cyfyngau yn =\frac{1}{2\pi}\int_0^ae^{-(k+i\omega)t}dt.
Integreiddio: =\frac{1}{2\pi}[-\frac{1}{k+i\omega}e^{-(k+i\omega)t}]_0^a,
amnewid cyfyngau: =\frac{1}{2\pi}(0+\frac{1}{k+i\omega})
(mae'r term cyntaf yn sero trwy ddiffiniad a fel gwerth torri ffwrdd).
Tacluso: =\frac{1}{2\pi k+i2\pi\omega}.
I weld rhannau real a dychmygol y datrysiad, mae'n well diddymu'r uned cymhlyg yn yr enwadur. Gellir wneud hyn drwy lluosi yr enwebydd a'r enwadur gyda cyfiau yr enwadur:
=\frac{2\pi k-i2\pi\omega}{4\pi^2k^2+4\pi^2\omega^2}.
Tacluso eto: =\frac{k-i\omega}{2\pi(k^2+\omega^2}.
Fig.: Darfodiad esbonyddol unigol. Cliciwch ar y ddelwedd i drawsffurfio. (Yn arallddewisiol, edrychwch ar y trawsffurfiad yma.)
  • Cymharwch dau darfodiad esbonyddol, un araf (k=1) ac un cyflym (k=2).
  • Nodwch fod y spectrwm yn gymhlyg er fod y data parth-amser yn llwyr real!
  • Mae'r rhan real yn linell cymesurol tra bod y rhan dychmygol yn anghymesurol. Mewn spectroscopeg, mae'r siapau yma'n cael eu nabod fel llinellau amsugnol a gwasgarol.
  • Darfod arafach - spectrwm culhach. Mae hwn yn rhinwedd pwysig o parau trawsffurfiad Fourier: Pan mae un yn cynnyddu, mae'r llall yn lleihau gan eu bod yn gilyddol. Meddyliwch Fourier!

Syfliad cydwedd

Yn yr esiampl uchod, roedd y ffwythiant mewnbwn yn real yn unig. Yn gyffredinol, mi fydd yna ffactor cydwedd sy'n penderfynu beth yw dosbarthiad yr arddwysedd rhwng y rhannau real a dychmygol.

Ffwythiant darfod gyda ffactor cydwedd: f(t)=e^{-kt}e^{i\phi},
sydd yr un fath a f(t)=e^{-kt}(\cos\phi+i\sin\phi),
h.y. modyleiddwyd y rhannau real a dychmygol gan don cosin a sin yn ol eu trefn.
Dyma'r trawsffurfiad Fourier: F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^ae^{-kt}e^{i\phi}e^{-i\omega t}dt.
Nid yw'r ffactor cydwedd yn dibynnu ar t. Felly, =\frac{e^{i\phi}}{2\pi}\int_0^ae^{-(k+i\omega)t}dt,
sy'n cynnwyr yr un integriad a'r uchod: =e^{i\phi}\frac{k-i\omega}{2\pi(k^2+\omega^2)}.

Canlyniad hyn yw'r signalau parth-amser a'r spectrymau canlynol:

Dim syfliad cydwedd.

Fig.: Darfodiad real yn unig. Cliciwch ar y ddelwedd i drawsffurfio. (Yn arallddewisiol, edrychwch ar y trawsffurfiad yma.)
  • Hwn yw'r ffwythiant mewnbwn real yn unig gwreiddiol unwaith eto.
  • Mae'r mewnosodiad yn dangos ble mae'r data mewn plân cymhlyg.
  • Cliciwch ar y ddelwedd i drawsffurfio'n Fourier.

cydwedd=π/6

Fig.: Phase shift by pi/6. Cliciwch ar y ddelwedd i drawsffurfio. (Yn arallddewisiol, edrychwch ar y trawsffurfiad yma.)
  • As the phase angle increases, intensity is shuffled from the real part into the imaginary part and then back.
  • As a consequence, the line shapes aren't pure absorption or dispersion lines any more.

cydwedd=π/4

Fig.: Syfliadu cydwedd drwy pi/4. Cliciwch ar y ddelwedd i drawsffurfio. (Yn arallddewisiol, edrychwch ar y trawsffurfiad yma.)

Ar π/4, mae rhannau real a dychmygol y ffwythiant mewnbwn yn unfath. Yn y spectrwm cyfatebol, mae'r llinellau real a dychmygol yn ddrych-delweddau o'u gilydd. Mae'r drych yn gyfochrog i'r echel y ar safle'r llinell (yma mae x=0).

cydwedd=π/2

Fig.: Syfliadu cydwedd drwy pi/2. Cliciwch ar y ddelwedd i drawsffurfio. (Yn arallddewisiol, edrychwch ar y trawsffurfiad yma.)

Ar π/2, mae'r rhannau real a dychmygol wedi eu amnewid gyda pherthynas i'r ffwythiannau gwreiddiol. Yn y spectrwm, mae'r ddau cydran yn amnewid hefyd. Nodwch fod y rhan real nawr yn drych-ddelwedd o'r rhan dychmygol gwreiddiol (oherwydd fod Im yn canlyn Re o π/2 o hyd).

cydwedd=π

Fig.: Syfliad cydwedd o pi. Cliciwch ar y ddelwedd i drawsffurfio. (Yn arallddewisiol, edrychwch ar y trawsffurfiad yma.)

Ar π, mae'r rhan real wedi ei wrthdroi; felly mae'r spectrwm hefyd wedi ei wrthdroi.

Arosodiad darfodiadau araf a chyflym

Swm dau darfodiad: f(t)=e^{-k_1t}+e^{-k_2t}
transforms as F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^a(e^{-k_1t}+e^{-k_2t})e^{-i\omega t}dt.
Gellir gwahanu'r integreiddiad: =\frac{1}{2\pi}\int_0^ae^{-(k_1+i\omega)t}dt+\frac{1}{2\pi}\int_0^ae^{-(k_2-i\omega)t}dt
i'r ddau ffurf arferol. Felly, =\frac{k_1-i\omega}{2\pi(k_1^2+\omega^2)}+\frac{k_2-i\omega}{2\pi(k_2^2+\omega^2)}.
Fig.: Darfodiad esbonyddol dwbwl. Cliciwch ar y ddelwedd i drawsffurfio. (Yn arallddewisiol, edrychwch ar y trawsffurfiad yma.)
  • Mae hwn yn esiampl o'r damcaneb adiad ar waith.
  • Mae'r darfodiad cyflym yn cyfrannu cydran spectraidd llydan; mae'r darfodiad araf yn achosi cydran cul. Meddyliwch Fourier!
  • Yn yr esiampl yma, mae arddwysedd (integreiddiad) y ddau linell yr un fath, er nad yw'n ymddangos felly. Mae hwn yn broblem cyffredin pan yn edrych ar spectymau: mae tueddiad i anwybyddu'r llinellau llydan, enwedig pan fod swn yn eu cuddio.

Osgiliad gwanychol

Y ffordd mwyaf hwylus o ddisgrifio osgiliad yw efo esbonyddion cymhlyg. Mae osgiliad gwanychol yn ddarfodiad esbonyddol (fel o blaen) gyda osgiliad wedi ei arosod, h.y. wedi ei luosi fewn.

Felly, y ffwythiant mewnbwn yw: f(t)=e^{-kt}e^{ict},
sy'n trawsffurfio i: F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^ae^{-kt}e^{ict}e^{-i\omega t}dt.
Integreiddio: =\frac{1}{2\pi}[-\frac{e^{-(k+i(\omega-c))t}}{k+i(\omega-c)}]_0^a,
amnewid cyfyngau: =\frac{1}{2\pi}\frac{1}{k+i(\omega-c)},
a thacluso =\frac{1}{2\pi}\frac{k-i(\omega-c)}{k^2+(\omega-c)^2}.
Fig.: Osgiliad gwanychol. Cliciwch ar y ddelwedd i drawsffurfio. (Yn arallddewisiol, edrychwch ar y trawsffurfiad yma.)
  • Mae'r osgiliad yn achosi'r spectrwm i syfliadu. Mae'r syfliad o safle'r llinell wreiddiol yn hafal i amled yr osgiliad.
  • Tra bod y darfodiad yn penderfynu lled y llinell, mae'r amled yn penderfynu'r safle. Dyma pan fod trawsffurfiad Fourier mor ddefnyddiol mewn spectroscopeg: O safle'r llinell rydym yn gweld pa amled (a felly egni) mae rhyngweithio'n digwydd, ac o lled y llinell, gallwn ddod i gasgliadau am ystod posib y rhyngweithio. Yn olaf, mae arddwysedd y llinell yn dangos pa mor debygol yw'r trosiant rhwng gwahanol lefelau egni i ddigwydd.
  • Mae'r gwybodath yma i gyd yn y data parth-amser gwreiddiol, ond mae trawsffurfiad Fourier yn ein helpu i'w ddarllen o'r data gwreiddiol --sydd fel arfer yn fler!

Dau osgiliad

Mewn system gyda dau gwahanol trosiant egni, mae ffotonau o dau amledd gwahanol yn cael eu amsugno. Felly mae gennym darfodiad esbonyddol gyda dau amledd arosodol: f(t)=e^{-kt}(e^{ic_1t)+e^{ic_2t}}.

Yn ol y damcaneb adiad, mae hyn yn rhoi dau linell ar wahan, wedi eu syfliadu gan eu amledd, c1 a c2, yn ol eu trefn.

Fig.: Osgled ddwbwl. Cliciwch ar y ddelwedd i drawsffurfio. (Yn arallddewisiol, edrychwch ar y trawsffurfiad yma.)
  • Mae'r ffwythiant mewnbwn yn cynnwys dau osgiliad gyda amleddu c1 a c2; mae'r ddau osgiliad efo'u gilydd yn ffurfio clystyrau. Hyd yn oed efo dim ond dau osgiliad ac heb swn, mae'r ffwythiant gwreiddiol yn edrych yn eithaf bler.
  • Mae'r spectrwm yn ymddangos fel un llinell lydan, er fod y crib yn fwy crwn na'r arferol. Drwy plotio'r ddau cydran ar wahan, gallwn weld fod y llinell lydan yn arosodiad o ddau llinell o'r proffil arferol ar yr amleddu addas. Nodwch fod osgled mwyaf y spectrwm ddim ar un o'r amleddu yma, ond rhyngddynt.
  • Os nad ydym yn gwybod yr amleddu cydranol, gellir dadansoddi'r proffil drwy ffitio cromlinnau. Dyma esiampl o'n ymchwil ni.

Cwtogiad: wigladau Fourier

Nid yw setiau data arbrofol yn parhau am byth. Os cwtogir set data cyn i'r holl osgliadau farw, mae hoff elyn y spectrosgebydd, y wigladau Fourier, yn codi ei ben.
Hyd yma, rydym wedi tybio y gallwn orffen yr integreiddiad ar rhyw werth a pryd mae'r signal mwy ne lai ar sero.

Dyma beth sy'n digwydd pan fod y ffwythiant mewnbwn yn syrthio'n ddisymwth i sero, h.y. mae'r set data yn gorffen rhy gynnar.

Lluosi y darfodiad arferol gyda ffwythiant gris: f(t)=e^{-kt}z(t),
lle z(t):={1 (x\leq b); 0 (x >b),
ble mae f(t) mwy ne lai yn sero ar t=b.
Y trawsffurfiad Fourier yw: F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^ae^{-kt}z(t)e^{-i\omega t}dt,
ond mae z(t) yn gorfodi f(t)=0 ar t>b: =\frac{1}{2\pi}\int_0^be^{-(k+i\omega)t}dt.
Integreiddioe: =\frac{1}{2\pi}[-\frac{e^{-(k+i\omega)t}}{k+i\omega}]_0^b
ac amnewid cyfyngau: =\frac{1}{2\pi}(-\frac{1}{k+i\omega}e^{-(k+i\omega)b)}+\frac{1}{k+i\omega})
oherwydd y tro yma, ar t=b, nid yw f(t) wedi darfodi'n llwyr.
Tacluso: =\frac{k-i\omega}{2\pi(k^2+\omega^2)}(1-e^{-(k+i\omega)b}).
Fig.: Truncated function and its Fourier transform. Cliciwch ar y ddelwedd i drawsffurfio. (Yn arallddewisiol, edrychwch ar y trawsffurfiad yma.)
  • Mae'r ffwythiant gwreiddiol wedi ei gwtogi ar t=4 yn yr esiampl hwn.
  • Mae spectrwm y ffwythiant cwtogedig yn dangos wigliadau cyfnodol i bob ochr y prif linell. Mae lluosi y ffwythiant mewnbwn gwreiddiol gyda ffwythiant gris ar ol trawsffurfiad yn gyfrodedd o'r spectrwm gwreiddiol gyda ffwythiant sinx/x (a elwir weithiau yn sincx).
  • Nid yw'r wigliadau Fourier yn effeithio safle'r llinellau spectraidd, ond maent yn effeithio lled ac arddwysedd y llinell. Os oes nifer o linellau yn bresenol, mae wigliadau Fourier sy'n perthyn i linell cryf yn medru gorgyffwrdd llinell gwan, gan greu syfliad o'r llinell gwan.
  • Yn ymarferol, yr unig ffordd i osgoi hyn yw gwneud yn siwr fod y data yn cael ei ddarllen am amser digon hir. Os nad yw hyn yn bosibl, gellir lluosi'r data amrwd gan darfodiad esbonyddol sy'n gorfodi'r data lawr i mwy ne lai sero ar ddiwedd y set data. Mae hyn yn lleihau'r wigliadau ond yn cynyddu lled y llinell.

Mae hyn yn gorffen yr adran ar drawsffurfiadau Fourier. Dyma'r daflen waith addas a'i datrysiadau.

Mae yna hefyd taflen gymorth i helpu eich adolygiad.